---
id: 5900f53d1000cf542c510050
title: 'Завдання 465: полярні багатокутники'
challengeType: 1
forumTopicId: 302140
dashedName: problem-465-polar-polygons
---

# --description--

Ядро багатокутника визначається сукупністю точок, з яких утворюється межа багатокутника. Визначимо полярний багатокутник як багатокутник, початок якого розташований всередині ядра.

У цьому завданні багатокутник може мати послідовні колінеарні вершини. Однак він не може перетинатися та мати нульову площу.

Наприклад, тільки перший з наведених багатокутників є полярним (ядра другого, третього та четвертого не містять початок повністю, а п’ятий взагалі не має ядра):

<img class="img-responsive center-block" alt="п’ять прикладів багатокутників" src="https://cdn.freecodecamp.org/curriculum/project-euler/polar-polygons.png" style="background-color: white; padding: 10px;" />

Зверніть увагу, що перший багатокутник має три послідовні колінеарні вершини.

Нехай $P(n)$ буде кількістю полярних багатокутників, вершини $(x, y)$ яких мають цілі координати, абсолютні значення яких не більші за $n$.

Зверніть увагу, що багатокутники вважаються різними, якщо вони мають різну множину сторін, навіть якщо оточують однакову площу. Наприклад, багатокутник з вершинами [(0,0), (0,3), (1,1), (3,0)] відрізняється від багатокутника з вершинами [(0,0), (0,3), (1,1), (3,0), (1,0)].

Наприклад, $P(1) = 131$, $P(2) = 1\\,648\\,531$, $P(3) = 1\\,099\\,461\\,296\\,175$ та $P(343)\bmod 1\\,000\\,000\\,007 = 937\\,293\\,740$.

Знайдіть $P(7^{13})\bmod 1\\,000\\,000\\,007$.

# --hints--

`polarPolygons()` має повернути `585965659`.

```js
assert.strictEqual(polarPolygons(), 585965659);
```

# --seed--

## --seed-contents--

```js
function polarPolygons() {

  return true;
}

polarPolygons();
```

# --solutions--

```js
// solution required
```
